Математический анализ
2 курс, 3 семестр, 8 факультет.
Kратные интегралы.
1. Интеграл Римана на n–мерном промежутке.
2. Множество Лебеговой меры нуль. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
3. Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначной функции.
4. Интеграл по множеству. Мера Жордана множества и ее геометрический смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому множеству.
5. Общие свойства интеграла.
6. Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини и следствия из нее.
7. Замена переменных в кратном интеграле.
8. Геометрический смысл знака и модуля Якобиана отображения.
9. Приложения кратных интегралов.
Кривая в пространстве.
10. Предел, непрерывность, дифференцируемость вектор-функции скалярного аргумента.
11. Параметрически заданная кривая. Касательная к кривой.
12. Длина дуги кривой. Натуральная параметризация.
13. Естественный трехгранник кривой. Формулы Френе.
14. Определение, вычисление, геометрический смысл кривизны и кручения кривой
15. Вид кривой вблизи произвольной точки.
Поверхности и дифференциальные формы.
16. Поверхность в евклидовом пространстве. Примеры.
17. Ориентация поверхности. Ориентируемые и неориентируемые поверхности
18. Край поверхности. Согласованная ориентация поверхности и ее края.
19. Касательное пространство.
20. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в R^3.
21. Площадь поверхности в евклидовом пространстве.
22. Первая квадратичная форма поверхности. Площадь поверхности в R^3 , длины кривых на поверхности.
23. Алгебра форм. Кососимметрические формы. Операция внешнего умножения.
24. Дифференциальные формы в областях евклидова пространства. Определения и примеры: дифференциал функции, форма работы, форма потока.
25. Координатная запись дифференциальной формы.
26. Перенос дифференциальных форм при отображениях.
27. Внешний дифференциал формы.
Криволинейные и поверхностные интегралы.
28. Интеграл от дифференциальной формы по ориентированной поверхности. Независимость интеграла от выбора систем криволинейных координат. Примеры приложений.
29. Форма объема. Площадь поверхности.
30. Интегралы от дифференциальных форм 1 и 2 рода.
31. Общая формула Стокса.
32. Классические интегральные формулы Ньютона-Лейбница, Стокса, Остроградского-Гаусса.
Элементы векторного анализа.
33. Скалярные и векторные поля в областях евклидова пространства. Связь с дифференциальными формами.
34. Дифференциальные операторы векторного анализа.
35. Интегральные формулы в векторных обозначениях. Геометрическое определение div, rot.
36. Потенциал векторного поля, необходимое условие потенциальности. Критерий потенциальности векторного поля.
37. Соленоидальные поля, их свойства.
38. Теорема Пуанкаре. Точные и замкнутые формы.



//--------------------------
"Я не боюсь потерять голову, я опасаюсь потерять лицо"